ガチャ

安室ちゃあああああん!!!!!!

今年は安室ちゃん引退の年、ということで、関連グッズが多数出ているようです。安室ちゃんファンの管理人よめめいわく、そのなかにはガチャ?みたいのもあるそうで、なにやら全部で121種類あるらしいです。管理人よめめも(できることなら?)121種類コンプリートしたいそうですが、

121種類コンプリートするにはガチャ何回ぐらい引けばいいの?

だそうです。リケジョなんだから自分で計算せえよ!と思いつつも、頭の体操にちょっとマジメに計算してみました。
今回の安室ちゃんガチャ?は121種類だそうですが、せっかく手間をかけて計算するので、一般に「N種類」として計算します。「121種類」として計算するよりも「N種類」として計算したほうがラクだし、結果の汎用性が高まります。
とくに物理の大学入試なんかをやるとつくづく感じますが、具体的な数値(「2」とか「0.1」とか)を2乗したり掛け算するより、文字を2乗したり掛け算するほうがはるかにラクです。しかも計算をミスったときにどこでミスったのか気づきやすいです。(数値を2乗しちゃったらもとの数値がなんだったのかわからないからね!)

というわけで、今回の問題?を整理してみます。

1:全部でN種類の景品が出るガチャをひき続ける。
2:それぞれの種類の景品が出る確率はすべて等しく、常に1/N とする(レアものと凡モノの区別がなく、出現確率が変動することはないとする)

この条件のもとで「全N種類を手に入れるまでに何回ぐらいガチャを引けばいいのか」を考えます。
実際のガチャにはレアものが存在するし、期間によって出現確率変動みたいなこともありますが、それを含めると式が複雑になりすぎて逆に「本質」あるいは「教訓」がわからなくなってしまいます。「全部等確率」という縛りのもとでもそれなりに式が難しいし、またちゃんと「教訓」が得られますのでご勘弁を。

「平均」で満足するな!!

この手の問題は汎用性が非常に高く、他のサイトなどでも議論されています。ただ残念ながら、そういうサイトではコンプリートに要する回数の「期待値」を示して終わっていたりします。ワタクシはそのやり方は好きじゃありません。
以前このブログで「平均値」をボロカスに叩いたことがありました。平均値は計算が簡単なのでよく使われますが、実態を表していないことが多いと思います。「期待値」もある意味「平均値」のようなもので、それだけ示されても参考程度にしかならないことが多いです。

身近?でかつ極端な例がサイコロです。1つのサイコロを振ったときに出る目の期待値は3.5です。でもこの値にはあんまり実用的な意味はありません。もちろんサイコロに3.5という目はありませんが、それに近い3と4の目があります。期待値が「3.5」だからと言って「よし、このサイコロは3か4の目が出やすいんだな!」と思って投げるバカはいないでしょう。

サイコロ1個の期待値に意味がないのは、出る目の「確率分布」が一様だからです。サイコロは1から6までの目がどれも1/6で出るようになっていて、それを「平均」したらたまたま3.5だ、と言っているにすぎないのです。よって「期待値」だけでなく「確率分布」をちゃんと考えるべきです。

結果を先走って言ってしまいますが、今回のテーマである121種類のガチャをコンプリートするのに必要な回数の期待値は650回ぐらいです。ただ「期待値650回」という数字を数学オンチな方が見てしまうと「わかった!650回引けば必ずコンプリートできるのね!」なんて思ってしまうかもしれません。

(※そもそも数学オンチな人は期待値なんて計算できませんから、300回ぐらい引いたところで「全然そろわない!これ不正じゃない!?」とか言い出すかもしれませんね)

もちろんそうではないです。「平均すると650回ぐらい」と言っているだけで、「99%の人は600~700回でいける」(つまり、みんなが650回近辺でコンプできる)のか、サイコロの目の話のように「人によって200回~1000回までバラバラで、平均したらたまたま650回」なのかはわかりません。今回の場合は後者に近いです。

求人票も「平均値詐欺」?

もっと「社会的な」例で言うと、転職の求人情報なんかを調べているときに「残業時間が平均20h/月」みたいに書いてあったりしますが、あれもあんまり意味はないです。9割の従業員が19h/月~21h/月の範囲に収まってる、なんて状況なら「平均20h/月」は意味のある数字ですが、そんな会社はないでしょう。実際にはほぼゼロの人と40h/月の人が半々ぐらいだったり、もっとひどいケースだと優秀な数人が100h/月で大多数はゼロ、で平均20h/月、みたいな状況と考えられます。これも「分布」を見ないと意味がない例ですね。

数学オンチな人は「バラつき」という概念が抜け落ちることが多いようなので、はっぴぃ理系らいふ研究所ではそこをちゃんと強調します。「期待値」だけで満足せず「確率分布」をちゃんと見ます。

これから先はガチの計算コーナーになるので、数学アレルギーで結果だけを知りたい、という方は最後まで飛んでください→結果を考察するラストの回

さあ次回からマジメに計算していきます。それなりに複雑な式になりますが、範囲としては高校の数Iの内容がほとんどです!お楽しみに!



はっぴぃ理系らいふ、いぇい

ヽ(・ε・)人(・ε・)ノ キミモナカマニナロウゼ   

【文責 べじぱみゅ】