今までのは放物線の話ですが、
放物線の話をすべての関数に適用できるように書くと

微分の定義


となります(小さくするのはhでもdxでもなんでもいいです)。
これが「微分」の定義です。ちゃんと和訳すると

微分とは
x
をちょっとだけ増やしてf(x)が増えた分を
xがちょっとだけ増えた分」で割り、その
「ちょっと具合」を小さくしたときに
「近づいていく先」のことです。



↑これ、なかなか初見では腑に落ちない概念だと思います。

ワタクシが思うに「微分」の本質は
その名前が示すとおり「ちょっとずつ分ける」

 

どんなに複雑に変化する関数でも
すご~く細かく区切れば

区切った部分については
直線とみなして構わない

 

ということです。
これ、直線なら話は簡単です。たとえば「3x」だったら

 

3(x+dx)-3x=3dx

 

となります。dx」は「xがちょっと増えた度合い」です。

増えた分が「3dxということは、つまり

x
がちょっと増えると、3xはその3倍増える

と言っています。わりと当たり前の話です。

 

しかし、放物線は直線ではありません。

直線ではないから「傾き」を出すのに
さっきみたいなややこしい話をする羽目になるのですが
ちょっと思い出してください。
途中の式の分子でこんなのが出てきました。

x^2(8)

 

これ、どういうことかというと

x^2の増え具合は、dxに比例する部分(2xdx)と
dx2乗に比例する部分(dx^2)の合計で成り立っている


ということです。
直線じゃないので、比例じゃない部分がくっついてくるのです。

 

微分のポリシー「細かく区切れば直線」がここで登場します。
数学の先生に怒られそうないい加減な言い方をしますが、

 

dxdx^2 を比べると
dx^2のほうが桁違いに小さい
ので無視して構わない

 

と言えちゃいます。dxは「すごく小さい値」ですが、
イメージがわかなければ何か具体的な数をを想像してください。

 

dx0.1なら、dx^20.01 となります

dx0.01なら、dx^20.0001 となります。

dx0.001なら、dx^20.000001 となります。

 

こんな具合で、dxがどんどん小さくなっていくと、
dx^2はそれ以上のスピードで小さくなっていくので、
どこかの段階(たとえば計算機で表示できる桁の限界など)で

dx^2のほうが「ほぼ無視できる」状況になります。

変化がdxに比例する、ということは、
それは「直線とみなした」ことになります。

 

細けえことはいいんだよ!
こうやればうまくいくんだしさ!


今は放物線の話でしたが、高校数学で出てくるすべての関数について

xをちょっとだけ増やしたとき」の増え具合

 

(dxに比例する部分)+
(dx^2dx^3などに比例する部分)

 

と表せます。dxはめちゃくちゃ小さいので

2つめの( )の部分は無視して構わない、という考え方です。

 

つまり「微分」とは、いろいろな関数について

ほんっっっっっっっっのちょっとだけxを増やして

変化を見てあげることで、

変化の仕方をほぼ直線とみなしてしまおう!

 

という作業になります。

数学の高級な理論をやるのでなければ、
このぐらいの理解があれば十分です。

 

 

残念ながら、微分のこのへんの概念がなかなか受け入れられないまま

(あるいは十分に説明してもらえないまま)先に進んでしまい

しかも不幸なことに、微分の演習問題自体は

微分の意味がわかってなくても解けてしまうため、

みんなおかん(dx)の有難味を忘れて

 

(x^2)'=2x (sinx)'=cosx

 

みたいに公式だけ暗記して受験を突破してしまいます。

(それで突破できてしまう受験サイドに問題があるのですがね)

 

結果として、大人になったとき

 

微分?もちろん知ってるよ。x^2の微分は2xでしょ!

まあ微分ってどういう意味なのかは知らないけどね

 

という状態になってしまいます。これじゃあ、

何の意味もない。


(その辺の話は別の記事で)

 

是非とも若い皆様、意味をちゃんとわかってあげてください。

活きた知識として吸収してください。