べじぱみゅのだらだら微分話、
応用編その2、最後のテーマは

2階微分
です。高校生の方にはけっこう難しいので、大学生向けです。
もちろん高校生の方でも、ご興味があれば是非読んでみてください。

このテーマをわざわざ1回分かけてお話しする動機としては
ワタクシが昔から強く思っていたことがありまして

2階微分は超重要なのに
どんなテキストでも
あっさりとしか書かれていない


からです。「微分」そのものについては
いろいろとじっくり説明した文書があるのですが
この「2階微分」についてはじっくり書いてある文書を見たことがない。

2階微分は、表記の仕方としては

2階微分(1)


こんな感じになります。要は2回微分したものです。

微分なんか1回で十分!なんで2回もせなあかんねん!

と言いたくなるかもしれません。
これも残念ながら、高校生の段階では必要性がわかりにくいのですが

世の中の法則は、ことごとく
2階微分で表現されている


という事情があります。例えば物理の序盤で出てくる
「運動方程式」。高校の教科書では

F=ma

となっています。力Fと質量mがわかると、「加速度」aがわかる
というシロモノなのですが、実際には

「加速度」だけわかってもしょうがない

という場面がすごく多いのです。
何かのモノに力がかかるとして、そのモノの「加速度」だけ
わかったとしても、実はあんまりうれしくなくて
一番知りたいのは「そのモノがこのあとどこへ行ってしまうのか」
であることが圧倒的に多い。

ほんで実は「加速度」って「位置」の2階微分なので
さっきの運動方程式、数学的にちゃんと書くと

2階微分(2)


となります。高校ではこれを扱うことはないのですが
大学ではデフォルトになるので「ふ~ん」ぐらいに思っててください。

さて、その2階微分は、1階の(普通の)微分に比べて
意味がわかりにくいものです。1階の微分には

傾き

という、実体とリンクさせやすい明確な意味があります。
はたして2階微分にそういう意味があるのでしょうか?
あります!明確な意味があります!

そもそも微分の定義の意味は

ちょっとだけ進んで増えた分を
その進んだ分で割ったもの(つまり傾き)


です。このノリで2階微分の意味を考えると

ちょっとだけ進んで傾きが増えた分を
その進んだ分で割ったもの


となります。これをお絵かきで表現するとこんな感じ。

2階微分(3)

上図中央の「x」の両サイドで「傾き」がどれだけ変わったか
を考えます。xの両サイドの「傾き」を出すために
xから「ちょっとだけ進んだときの変化率」と
「ちょっとだけ戻ったときの変化率」を考えましょう。

で、それらが「増えた分」を、そのちょっとの距離で割る
という作業をするわけです。やってみると

2階微分(4)

こんな感じになりました。
分母はなにやら「ちょっとの距離」の2乗です。そっちは置いときます。
(実はこれ、けっこう面倒臭い議論になっちゃいます。
 機会があれば別の会でお話ししましょう)

今回はこの分子を考えます。分子は何でしょう?
よ~く見ると

2階微分(5)


こうなりますね。最初の部分は、ちょっと右にいった点と

これの意味は明確で

両サイドの平均との差(の2倍)

です。以上より、2階微分の「図形的な意味」は

f(x)のある点と、そこから
「ちょっとだけ両サイドに行った2点の平均」
との差
を、ちょっとの距離の2乗で割ったもの

となります。復習ですが「1階微分」のほうは

f(x)のある点と、そこから
「ちょっとだけ進んだ点」
との差
を、ちょっとの距離で割ったもの


ノリがわかってきましたか?

高校数学では、2階微分は「凸」の判定に用います。
例えば2階微分がプラス、ということは

2階微分(5)

これがプラス、ということです。ということは

その点は、両サイド2点の平均より下にある

ということになります。逆に2階微分がマイナスの場合

その点は、両サイド2点の平均より上にある

ということになります。これをお絵かきするとこんな感じ。

2階微分(6)



いろいろなテキストで「2階微分による凸判定」
の話をするとき、たいていは

・2階微分は「傾きの変化率」
・「傾きの変化率が正」→「→↑」こんな状態→下に凸
・「傾きの変化率が負」→「→↓」こんな状態→上に凸

みたいな議論をしています。
これはこれで正しいのですが、なんとなく
ごまかされているというか、直接的じゃないというか。

それよりも、実は2階微分の式そのものが
「両サイドの平均との差」を表している
、と言われたほうが
少なくともワタクシは直接的な気がして好きです。

この話を知ってると方程式にビビらなくなります。
たとえば、サインコサインの回でお話した弦の振動。
あれを大学生の数学を使って真面目に書くと


2階微分(7)


こんな感じになります(本当は「偏微分」なのですが、どっちでもいいです)
「y」は弦の垂直方向の「変位」です。
この式をいきなり見せられても、もちろん高校生はわからないし
理系の大学生だって、意味をちゃんと分かっている人は
おそらくほとんどいません。

今回の話が関係するのは右辺の2階微分のところです。
実は右辺は「F=ma」の「F」の部分に相当します。
「T」は弦の張力です。

今回の議論では、「2階微分」とは
「両サイドの平均との差」、もっと言うと
「上下への突き出具合」を表しています。

これを踏まえて右辺を日本語に翻訳すると

・上に突き出ている部分は下に引っ張られる
 (2階微分がマイナス)
・下に突き出ている部分は上に引っ張られる
 (2階微分がプラス)


と言っているだけです。

当たり前のことしか言ってません。

「2階微分」の意味を考えないで大人になってしまった人は
さっきの式を見ても、それを単なる「式」としか認識せず
意味もわからずだらだら計算するだけの劣化AIになってしまうのですが
ちゃんと意味を考えれば、すんなり受け入れられます。

最初にも言いましたが
2階微分は世の中の物理現象の方程式にことごとく登場する割に
数学のテキストで扱いが軽い(ちゃんと意味を説明してない)
ことがすごく残念です。
べじぱみゅのビューティフル・スタディを訪れていただいた方は
是非、式の意味を考えて、より高級なお仕事に励んでください。