もうちょっと「物理」チックな話にしましょう。「速度」
たとえば、ずっと時速50kmで走っている車があるとして、2時間で進んだ距離は?と聞かれたら話は簡単です。50に2(時間)をかけて、100kmです。小学校で習うことですが

速さに時間をかけたものが、距離

ということです。これだけならすんなり受け入れていただけると思いますが

速さ(速度)がコロコロ変わる

となった瞬間、一気に話はややこしくなります。
速さに時間をかけようとしても、速さっていつの時点の速さやねん!となってしまいます。

具体例として、速さが時間とともにどんどん変わっていく状況を考えましょう。単純な例として

v=t

という感じ。単位は別になんでもいいですが、日常生活に比較的馴染みが深いであろう「時速」「秒」にしましょう。
この車、最初は止まっていて時速ゼロです。そこからどんどん速くなっていき、1秒後には時速1キロ30秒後には時速30キロ1分(60秒)後には時速60キロ、になっているとします。
上り坂なのか知りませんが、だいぶ加速の悪い車ですね。もはや速い人のチャリ、と考えたほうがしっくりくるかも。(ちなみにワタクシはゴールドペーパードライバーで、チャリ愛好家です)

こういう状況で

最初の1分の間に進んだ距離はどのくらいでしょう

というのが今回のお話です。

速さがどんどん変わっているため、単純に「速さに時間をかける」ができません。このままだとらちがあかないので、さっきちょっと出した話

ちょっとずつ区切って足す

をやってみようと思います。「ちょっと」ってどのくらいだ?と言いたくなるかもしれませんが、とりあえず10秒ごと、にしましょう。キリがいいし。
本当は「v=t」と「滑らかに」加速しているのですが、まずは第一歩として

・0秒から10秒までの間、時速10キロ
・10秒から20秒までの間、時速20キロ
        ・
        ・
        ・
・50秒から60秒までの間、時速60キロ

で進んでいる、としちゃいましょう。
「そんな大雑把でいいのかよ!?」という方、ちょっとだけガマンしてください。

こう仮定(というより「近似」)しちゃうと一気に話は簡単になります。10秒ごとに「同じ速度で走っている」ことになるので、「速さに時間をかける」ができるようになります。10秒は1/360~0.002778時間なので、

・0秒から10秒までの間に進んだ距離:
時速10キロ×0.002778(時間)=0.02778(キロメートル)
=27.78(メートル)
・10秒から20秒までの間に進んだ距離:
時速20キロ×0.002778(時間)=55.56(メートル)
        ・
        ・
        ・
・50秒から60秒までの間に進んだ距離:
時速60キロ×0.002778(時間)=166.68(メートル)

というわけで、1分の間に進んだ距離は

27.78+55.56+・・・+166.68  ~  583.3メートル

ぐらいになります。