おかん「ちょっとずつ区切るって言っても、1秒でも0.1秒でもまだまだ不十分なわけでしょ?それなら”dt秒”ごとに区切ればいいじゃない

あれ?おかん前は"dx"じゃなかったっけ?

おかん「うるさいわね!たまにはメイク変えたくなるときだってあるのよ!しつこい男はモテないわよ!」

はいはい。

おかん「今回の問題は1分までの距離、だったけど、これだと”2分”とか”10分”とか、数字が変わるたびに計算しなおさなきゃいけないでしょ?面倒くさいわね」

まあ確かに。

おかん「というわけで、”0秒からt秒まで”って感じでうまいこと出しておいて、出たところで1秒とか10秒とかを代入したほうがはるかにラク。それなら1回計算するだけでいいし」

まあ・・そうなのかな。

おかん「ついでに、"v=t"って縛りもやめたほうがいいわね。せっかく計算しても、v=3tとか、v=t^2とか、ほかの関数にされたらまたやりなおしになっちゃうし。v=f(t)としとくわよ。これなら1回計算するだけで、tでも3tでもなんでも対応できるし」

はあ。まあお好きにどうぞ。

おかん「さて、速さが時々刻々と変わる、v=f(t)のときに、0秒からt秒までで進んだ距離を出す、って話ね。距離はわからないから適当にF(t)としておくわ。もしF(t)がわかってしまえば、あとはそこに1秒とか10秒とか、具体的な時間を代入すればいいだけだし」

なんだよF(t)って! そんなの出せんのかよ!

おかん「もちろんF(t)は今の時点では正体不明。でも、どんな関数なのかの大きなヒントはある。さっきの、細かく区切って足す、ってやつ」

ヒントなんかあったか?

おかん「F(t)自体は正体不明だけど、F(t)がどういう変化をするかはわかるのよ」

なんで?

おかん「このF(t)ってのは、さっきまでのノリで言うと

時間をめちゃくちゃ細かく区切って
速さと時間をかけて足したもの


でしょ?」

まあそうだな。だからなんだよ。

おかん「F(t)がちょっとだけ増えたときのことを考えてみるわけよ。仮にF(t)がわかっていたとして、ちょっとだけ後の時間のF(t+dt)はどうなるか、って話」

知るかそんなの。

おかん「まあまあ。もう一回言うけど、F(t)ってのは、速さを細かく区切って足したもの。ってことは、ちょっとお隣のF(t+dt)を出したかったら、やっぱり速さを細かく区切って足せばいいわけ」


積分(1)

ん?なんだこのお絵かき。

おかん「さっき、時間を10秒ごと、1秒ごと、みたいに区切って足し算してたでしょ?今回はもっともっと小さい時間"dt秒"ごとに区切った、というお話。ノリは同じでしょ?」

まあ、ノリは一緒だけど。

おかん「それをt秒まで足したものがF(t)。t秒のちょっと後、t+dt秒まで足したものがF(t+dt)ってことね」

ほうほう。

おかん「F(t)に、そのときの速度の値とちょっとの時間dtを掛けたもの、を足せばF(t+dt)になるわけよ。それを書き直すとこんな感じ」

F(t+dt)=F(t)+f(t)dt

ほうほう。だから何?

おかん「まだわからんか。鈍い男はモテないわよ。これならどう?」

積分(2)

おかん「ほら、この左側どっかで見たことない?」

なんだっけこれ。あ、微分か。

おかん「そうそう。この式を和訳すると

F(t)がちょっと増えた分を
ちょっとの時間で割ったものが、f(t)です。

ってことね」

ほうほう。

おかん「よくよく考えたら当たり前っちゃ当たり前ね。何度も言うけどF(t)って、速さf(t)を細かく区切ってdtを掛けて足したもの、でしょ?」

何回も聞いたよそれ。

おかん「ってことは、逆に言うとF(t)の変化率、つまりちょっと増えた分をちょっとの時間dtで割ったもの、はf(t)になるわけ」

お?ふ~ん。

おかん「じゃあ、もう私は用済みね。じゃ~ね~」