空気を読み過ぎるおかんでした。
というわけで、おかんの話をまとめると

・速度がf(t)で時々刻々と変化している
・そのときに0からt秒までに進んだ距離を出したい
・距離を出すのに単純な「速度×時間」はできない
・しょうがないから「ちょっとの時間」"dt"ごとに区切り
 その間は速度が一定とみなして「速度×時間」をやる
・その「速度×時間」を合計したものを、よくわからないからF(t)とする
 このF(t)こそが求めたい距離だ。
・F(t)自体は正体不明だが、よ~く見ると
 「F(t)がちょっと増えた分をちょっとの時間で割ったもの」
 は、速度f(t)のようだ


こんな感じです。最後の

積分(2)
について、左側はなんとなく「微分」の定義に似てますね。
微分の定義をちょっとマジメに思い出すと

「ちょっと変化した分をちょっとの時間で割り
 そのちょっと具合をゼロに近づけた極限」


です。ということは、この左側の式は

ちょっとの時間dtをどんどん小さくしていけば、微分に近づく

ということになります。
というわけで、さっき10秒とか1秒とかで区切ってやってましたが
「正確に出すには」めちゃくちゃ細かい時間で区切る必要があります。

それって結局

微分して速度になるような関数を求めれば、それが距離

という結論になります。

最初の問題に話を戻すと、v=tの速度で進む車が、時刻0からtまでに進んだ距離をスマートに出したかったら

微分してtになるもの

を出せばいい、というわけです。微分してtになるものって

t^2/2

です。「微分してtになるもの」は「t^2/2+3」とか「t^2/2-1」とかも該当しますが、「最初に距離ゼロ」という縛りがあるので、1択に決まります。

最初の問題ですが、この「t^2/2」に「t=1秒」を代入して

0.5(キロメートル)=500(メートル

が答えになります。
さっきは10秒刻み、1秒刻み、0.1秒きざみでなんとな~く
「500メートルに近づく」ような気がしていましたが、
「微分の逆」をやることで、それが間違っていないことを確かめました!