*注意)この「べじぱみゅの学習メモ」のカテゴリー記事は、ワタクシ自身がこれまでに勉強したいろいろな項目について、テキストにあんまり書いてない内容などを勝手に妄想したメモです。
ワタクシ自身の備忘録のために書いており「初学者にわかりやすく説明する」というものではございません。
導入なしに唐突に話が始まり、おそらく意味不明な文章かもしれません。
しかし、せっかく考えたことなので、記事の内容がもし誰か1人でもお役に立てれば幸いです。


重力


3次自然スプライン補間の式

数値計算や実験データの処理では「補間」を用いることが多い。
スプライン補間はそのなかでも「導関数の連続」という条件を課す(つまり「滑らか」にする)ことが特徴で、よく用いられる。

補間関数をデータ点間隔ごとに分ける。具体的には区間[xi,xi+1]

補間式
このような式を用いる。この係数はそれぞれ

補間式の係数


このように表現できる。ただしここに出てきたui

uiの連立方程式

この連立方程式の解である。
と、ここまではいろいろなテキストに書いてある。

実際はもっと簡単?

これは一般式なので、データの間隔がまちまちな場合に対応している。
実際に技術の職場において、何かを測定なり分析なりして得られるデータは「横軸」が等間隔であるケースがほとんどである。
(えてして、測定の際に測定者が指定できるケースが多い)
この場合はさっきの連立方程式が簡単になる。データ間隔をhとおくと


uiの連立方程式簡易版

こうなる。実際の計算作業では表現の簡潔さのために両辺をhで割り、各vi→vi/hとするとよい。

このとき、連立方程式左辺の行列の逆行列


連立方程式の逆行列

が「解析的に」表せるため、連立方程式を解く数値計算テクニックは不要である。
逆行列の要素は、高校数学の「漸化式」などを用いて以下のように計算できる。

逆行列要素1

ただし、それぞれの文字は

逆行列要素2

である。
Excelでこの計算をする場合は、上記の式をそのままセルに入力すればよい。
ただ、Excelはどうも不思議な処理をしているようで、式全体をカッコでくくるような操作をすると桁落ちする。セルへの入力のしかたを工夫しなければならない。



はっぴぃ理系らいふ、いぇい
ヽ(・ε・)人(・ε・)ノ キミモナカマニナロウゼ
   

【文責 べじぱみゅ】