*注意)この「べじぱみゅの学習メモ」のカテゴリー記事は、ワタクシ自身がこれまでに勉強したいろいろな項目について、テキストにあんまり書いてない内容などを勝手に妄想したメモです。
ワタクシ自身の備忘録のために書いており「初学者にわかりやすく説明する」というものではございません。
導入なしに唐突に話が始まり、おそらく意味不明な文章かもしれません。
しかし、せっかく考えたことなので、記事の内容がもし誰か1人でもお役に立てれば幸いです。

定義式を見てもね・・・

理系の大学生の多く?が学ぶことになる「フーリエ変換」についてあれこれ考えてみました。
時間関数の「周波数特性」を分析したいとき、なんかに使うアレです。
定義式自体はあまりに有名なところです。

定義式

これ。時間関数f(t)になにやらexp(-jwt)をかけて積分することでF(w)という「周波数成分」が出せる、と。まあ、そのとおりで今さらワタクシごときが文句言えるようなシロモノではないのですが、なんかこう、ピンとこないのよね~。

というわけで、この式をどうにかして直感的に理解できないものか、いろいろ妄想してみました。


「共鳴」を起こしてみよう!

ピンとこない定義式のことは一旦忘れて、まずはあのサインについて考えてみましょう。

サインの波形

こんな感じ。とりあえず3種類の周波数のサインを書いてみました。
横軸「4」で1周期分のsin(ft)と、その2倍、3倍の周波数のサインです。
この3つに対して、ちょうど真ん中のsin(2ft)を掛け算して「共鳴」させてみます。

サインの共鳴

これを見ると、真ん中はsin(2ft)の2乗なので、当たり前ですがずっと0以上の値になります。
一方上と下は、異なる周波数のサインどうしの掛け算であり、ある周期(ここの場合横軸「4」)で正負を繰り返していることがわかります。
上の図に赤点線で示した部分を「積分」(積算)すると、ちょうど正負が打ち消し合ってゼロになります。

というわけで、若干当たり前な気もしますがまとめると

・周波数の合うサインどうしを掛け合わせると常にゼロ以上となり
 積算すればするほど値が増加しつづける
・周波数の合わないサインどうしを掛け合わせると正負を延々と繰り返し
 積算しても値は増えていかない


となります。ということは、こんな言い方ができちゃいます。

周波数成分の不明な時間関数にある周波数成分(f)が含まれているかを知りたければ、その周波数のサインを掛け合わせてしばらく積算(積分)すればいい。

もし、しばらく積算した結果、値がどんどん増えていく様子が見えなければ、その周波数の成分は入っていない、となります。逆に値がどんどん増えていくならばその周波数成分が含まれている、ということになります。

このことが、フーリエ変換を直感的に理解する第一歩かと思います。

次回へ続く。




はっぴぃ理系らいふ、いぇい
ヽ(・ε・)人(・ε・)ノ キミモナカマニナロウゼ
   

【文責 べじぱみゅ】