*注意)この「べじぱみゅの学習メモ」のカテゴリー記事は、ワタクシ自身がこれまでに勉強したいろいろな項目について、テキストにあんまり書いてない内容などを勝手に妄想したメモです。
ワタクシ自身の備忘録のために書いており「初学者にわかりやすく説明する」というものではございません。
導入なしに唐突に話が始まり、おそらく意味不明な文章かもしれません。
しかし、せっかく考えたことなので、記事の内容がもし誰か1人でもお役に立てれば幸いです。


フーリエ変換・・・?

前回、周波数成分が不明のピアノの音にいろいろな周波数のサインを掛け算して積算しました。
この作業を式で表すと
サインを掛けて積算

こうなります。意味はそのままで、f(t)にある(角)周波数wのサインを掛けてゼロからTまで積分(積算)した、という作業です。その結果前回はf=1,2, 3のみ非ゼロで、それ以外がゼロ、という知見が得られたわけです。

「T」は前回なんとなく「16」としましたが、とくに制限はなく「十分な差が得られるまで」ぐらいの意味しかありません。そのため数学的には「∞」と書いてもいいと思います。
(実際の作業が無限時間続くことはないので、どっかで勝手に打ち切ることになります)

ほぼこれでフーリエ変換に近づいています。あとは「位相」の問題だけです。

共鳴2つめ

前回のピアノの音と同様に、上のグラフにある青い時間関数波形に対して「共鳴」を起こさせてみましょう。なんとなくこれも横軸「4」の周期関数ぽいので、うまくいくでしょう・・・

共鳴させてみた結果2

しかし積算してみると、どの成分も出てきません。おかしいですね?

もとの関数

実はもとの関数は、サインでなくコサインの足し合わせだったのです。
周波数が同じでも、サインとコサインは「直交」しているので積算してもゼロのままなのです。

時間関数の位相がたまたまサインと合っているかコサインと合っているか、その中間なのかはわかりませんので、「周波数成分」を抜き出したければ結局

両方やらないと

この両方を計算する必要があるわけです。
そして、各周波数成分についてFSFC2乗和「振幅」FSFC「比」「位相」を表すことになります。

フーリエ変換!

そうやって2つ書くのがわずらわしいです。
サインとコサインをまとめてスッキリ表現する方法はちゃんとあります。
そう、複素関数ですね。

というわけで、最初の定義式

定義式

が出てくるわけです。意味は

f(t)に対してexo(-jwt)(つまりcos(wt)とsin(wt))をかけて「十分に積算」したものが、周波数特性を表す

となります。F(w)が「大きな値」になればその周波数成分がたくさん入っていて、ゼロになればその周波数成分は入ってない、ってことです。





はっぴぃ理系らいふ、いぇい
ヽ(・ε・)人(・ε・)ノ キミモナカマニナロウゼ
   

【文責 べじぱみゅ】