前回、周波数成分が不明のピアノの音にいろいろな周波数のサインを掛け算して積算しました。
この作業を式で表すと


こうなります。意味はそのままで、f(t)にある(角)周波数wのサインを掛けてゼロからTまで積分（積算）した、という作業です。その結果前回はf=1,2, 3のみ非ゼロで、それ以外がゼロ、という知見が得られたわけです。

「T」は前回なんとなく「16」としましたが、とくに制限はなく「十分な差が得られるまで」ぐらいの意味しかありません。そのため数学的には「∞」と書いてもいいと思います。
（実際の作業が無限時間続くことはないので、どっかで勝手に打ち切ることになります）

ほぼこれでフーリエ変換に近づいています。あとは「位相」の問題だけです。



前回のピアノの音と同様に、上のグラフにある青い時間関数波形に対して「共鳴」を起こさせてみましょう。なんとなくこれも横軸「4」の周期関数ぽいので、うまくいくでしょう・・・



しかし積算してみると、どの成分も出てきません。おかしいですね？



実はもとの関数は、サインでなくコサインの足し合わせだったのです。
周波数が同じでも、サインとコサインは「直交」しているので積算してもゼロのままなのです。

時間関数の位相がたまたまサインと合っているかコサインと合っているか、その中間なのかはわかりませんので、「周波数成分」を抜き出したければ結局



この両方を計算する必要があるわけです。
そして、各周波数成分についてFSとFCの2乗和が「振幅」、FSとFCの「比」が「位相」を表すことになります。