*注意)この「べじぱみゅの学習メモ」のカテゴリー記事は、ワタクシ自身がこれまでに勉強したいろいろな項目について、テキストにあんまり書いてない内容などを勝手に妄想したメモです。
ワタクシ自身の備忘録のために書いており「初学者にわかりやすく説明する」というものではございません。
導入なしに唐突に話が始まり、おそらく意味不明な文章かもしれません。
しかし、せっかく考えたことなので、記事の内容がもし誰か1人でもお役に立てれば幸いです。


式だけ見せられても・・・

大学で物理をマジメにやっていると、ありとあらゆるところで「波動方程式」が登場する。
いろんなバージョンがあるが、たとえば1次元(x方向とする)の弦の振動(y方向とする)の場合

弦の振動を表す方程式

こんな感じです。Tは「張力」、ρは「弦の密度」です。
あまりに有名なのでいろんなテキストに書いてあり、解く方法も確立?しています。
ただワタクシは、お恥ずかしながら学生時代、この式の「意味」がわかっていませんでした。
いや、ちゃんと計算して答えも出せるんですよ。でもなんというか「この式自体が何を訴えているのか」という部分を無視して上っ面だけ学んでいた、という感じ。

ワタクシはそういう反省から「式を和訳せよ」と口すっぱく言っていますので、これもなんとか「和訳」してみたいと思います。

弦をよ~く見てみよう

弦の振動のようす

弦の振動を単純に表現すると、こんな感じです。
上の図の1~6の順に進んでいきます。特に中心部分を見るとわかりやすいですが、1~6のときの「速度」と「加速度」の関係を頭に叩き込むことが理解の第一歩です。

そしてそれぞれの状態で、弦の中心にどんな「力」がかかっているか、が大事です。

弦の中心にかかる力

こんな状態です。弦は両サイドでぴんと張られている(張ってないとまともに鳴らない)ので、中心部は両サイドに引っ張られている状態になります。
ただし中心部が上(y正方向)に変位していると、両サイドに引っ張られる合力が下向き(y負方向)になります。逆もしかり。


「どれだけ突き出しているか」

このとき、弦の張力をTとすると、上下方向の力の大きさは

T×<下凸具合>

と表せます。これをお絵かきで説明すると以下のようになります。

上凸具合

要は「突き出ている具合」のことなのですが、ある点がその(十分に近い)両サイド2点より下にあれば、その点は「下に凸である」と言います。逆もしかり。
数式だと意味が伝わりづらいので、もうちょっとお絵かきで事例を出しましょう。

上凸具合もっと詳しく

こんな感じです。一番上は、上にも下にも凸ではない状態です。
こういう状況だと、弦の両サイドから引っ張られたときにy方向の力は打ち消し合ってゼロです。
それ以外の4つは、上下方向の力が働きます。

もうすぐゴール!

さて、この「下凸具合」を数学的に表現すると2階微分になります。
この辺のお話は昔の記事でおはなししたので、そちらをご参照ください。
結局、弦の各点にかかるy方向の力は

y方向の力

こうなるわけです。張力Tが大きい(つまり弦をぴんと張る)ほど、y方向の力も大きくなります。
そしてこの値、弦のその箇所が「下に凸」であるとプラスになります。
(下に突き出ていると上向きの力がかかる。yの2階微分がプラス)
逆に「上に凸」であるとマイナスになります。
(上に突き出ていると下向きの力がかかる。yの2階微分がマイナス)

力さえわかれば、あとは運動方程式に当てはめるだけです。

運動方程式

これ。弦は点でなく連続体なので「重さ」にあたる量として「密度」を用います。
そして「加速度」は時間の2階微分ですので結局

弦の振動を表す方程式・再

こういうことになるわけです。ただの運動方程式だったわけですね。和訳すると

・弦を強く張っておくと、弾いたとき速く振動します。(T大)

・重い弦は、弾いたとき遅く振動します。(ρ大)

・弦は、その箇所が「下に突き出している」
 ほど上向きに加速されます。(2階微分大)


こんな感じ。実はけっこう当たり前のことを言ってたんですね。

こういうことを意識すれば、偏微分方程式も可愛く?見えてくるし、本質の部分の理解が進むと思います。
解くテクニックなんてどうでもいいんです。ちゃんと式の意味を考えましょう!



はっぴぃ理系らいふ、いぇい
ヽ(・ε・)人(・ε・)ノ キミモナカマニナロウゼ
   

【文責 べじぱみゅ】