大学で物理をマジメにやっていると、ありとあらゆるところで「波動方程式」が登場する。
いろんなバージョンがあるが、たとえば1次元（x方向とする）の弦の振動（y方向とする）の場合



こんな感じです。Tは「張力」、ρは「弦の密度」です。
あまりに有名なのでいろんなテキストに書いてあり、解く方法も確立？しています。
ただワタクシは、お恥ずかしながら学生時代、この式の「意味」がわかっていませんでした。
いや、ちゃんと計算して答えも出せるんですよ。でもなんというか「この式自体が何を訴えているのか」という部分を無視して上っ面だけ学んでいた、という感じ。

ワタクシはそういう反省から「式を和訳せよ」と口すっぱく言っていますので、これもなんとか「和訳」してみたいと思います。

弦の振動を単純に表現すると、こんな感じです。
上の図の1～6の順に進んでいきます。特に中心部分を見るとわかりやすいですが、1～6のときの「速度」と「加速度」の関係を頭に叩き込むことが理解の第一歩です。

そしてそれぞれの状態で、弦の中心にどんな「力」がかかっているか、が大事です。



こんな状態です。弦は両サイドでぴんと張られている（張ってないとまともに鳴らない）ので、中心部は両サイドに引っ張られている状態になります。
ただし中心部が上（y正方向）に変位していると、両サイドに引っ張られる合力が下向き（y負方向）になります。逆もしかり。


「どれだけ突き出しているか」

このとき、弦の張力をTとすると、上下方向の力の大きさは

T×＜下凸具合＞

と表せます。これをお絵かきで説明すると以下のようになります。



要は「突き出ている具合」のことなのですが、ある点がその（十分に近い）両サイド2点より下にあれば、その点は「下に凸である」と言います。逆もしかり。
数式だと意味が伝わりづらいので、もうちょっとお絵かきで事例を出しましょう。



こんな感じです。一番上は、上にも下にも凸ではない状態です。
こういう状況だと、弦の両サイドから引っ張られたときにy方向の力は打ち消し合ってゼロです。
それ以外の4つは、上下方向の力が働きます。

もうすぐゴール！

さて、この「下凸具合」を数学的に表現すると2階微分になります。
この辺のお話は昔の記事でおはなししたので、そちらをご参照ください。
結局、弦の各点にかかるy方向の力は



こうなるわけです。張力Tが大きい（つまり弦をぴんと張る）ほど、y方向の力も大きくなります。
そしてこの値、弦のその箇所が「下に凸」であるとプラスになります。
（下に突き出ていると上向きの力がかかる。yの2階微分がプラス）
逆に「上に凸」であるとマイナスになります。
（上に突き出ていると下向きの力がかかる。yの2階微分がマイナス）

力さえわかれば、あとは運動方程式に当てはめるだけです。



これ。弦は点でなく連続体なので「重さ」にあたる量として「密度」を用います。
そして「加速度」は時間の2階微分ですので結局



こういうことになるわけです。ただの運動方程式だったわけですね。和訳すると

・弦を強く張っておくと、弾いたとき速く振動します。（T大）

・重い弦は、弾いたとき遅く振動します。（ρ大）

・弦は、その箇所が「下に突き出している」
　ほど上向きに加速されます。（2階微分大）

こんな感じ。実はけっこう当たり前のことを言ってたんですね。

こういうことを意識すれば、偏微分方程式も可愛く？見えてくるし、本質の部分の理解が進むと思います。
解くテクニックなんてどうでもいいんです。ちゃんと式の意味を考えましょう！

はっぴぃ理系らいふ、いぇい
ヽ(･ε･)人(･ε･)ﾉ ｷﾐﾓﾅｶﾏﾆﾅﾛｳｾﾞ